4th Int'l Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics by R.D. Richtmyer

By R.D. Richtmyer

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Der Ansatz der Adaptivit¨ at wird auch mit anderen Integrationsverfahren gekoppelt. Eine optimale Steuerung des Verfahrens wird so aussehen, dass in den Bereichen, in denen sich der Integrand stark ¨andert, automatisch sehr kleine Teilintervalle gew¨ ahlt werden. Zur Minimierung der Anzahl der St¨ utzstellen kann man in den Teilintervallen genaue Gauß-Formeln benutzen. Die numerische Integration ist in vielen B¨ uchern u ¨ber numerische Methoden ausf¨ uhrlicher beschrieben. Wir verweisen hier auf die B¨ ucher von Stoer [58], Deuflhard [15] und Schwarz [55].

6 Numerische Differenziation 49 exakt entweder per Hand oder mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems ausf¨ uhren. Ist die Funktion nur an Hand einer Wertetabelle gegeben, dann ist eine numerische Differenziation notwendig: Die Werte werden interpoliert und das Interpolationspolynom wird entsprechend differenziert. Aber auch bei der numerischen L¨ osung von gew¨ ohnlichen als auch partiellen Differenzialgleichungen mit Hilfe von Differenzenverfahren ben¨otigt man entsprechende Approximationen. Die Idee bei den Differenzenverfahren besteht darin, dass man die kontinuierlichen Ableitungen einer Differenzialgleichung durch N¨aherungsausdr¨ ucke ersetzt.

Zur k¨ urzeren Schreib- f(x) −h 0 h weise setzen wir x0 = −h, x1 = 0, x2 = h. Der sogenannte Taylor-Abgleich l¨auft in den folgenden f¨ unf Schritten ab: 28 1 Numerische Integration und Differenziation Schritt 1: Die Funktion f = f (x ) wird in eine Taylor-Reihe um x = 0 entwickelt: f (x ) = f (0) + x f (0) + x2 x n (n) f (0) + · · · + f (0) + . . , 2! n! 23) wobei ausreichende Differenzierbarkeitseigenschaften der Funktion f vorausgesetzt werden. 23) l¨asst sich der exakte Wert des Integrals in der Form einer Reihe berechnen: h Q= f (x )dx = 2h f1 + ( −h h2 2h 3 2h 5 (4) h2 + ...

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